TL;DR

Tháng 4/2026, Liam Price - 23 tuổi, không có nền tảng toán học nâng cao - nhập Erdős Problem #1196 vào GPT-5.4 Pro trên một buổi chiều thứ Hai rảnh rỗi. 80 phút sau, AI trả về một proof mà hàng chục nhà toán học chuyên nghiệp đã thất bại trong suốt 60 năm. Điều khiến sự kiện này khác biệt: AI không tìm trong thư viện papers - nó dùng một kỹ thuật toán học 90 năm tuổi mà chưa ai nghĩ đến việc áp dụng cho lớp bài toán này. Fields Medalist Terence Tao xác nhận kết quả.

Bài toán 60 năm là gì

Paul Erdős - nhà toán học Hungary huyền thoại - để lại hàng trăm conjecture chưa giải, được lưu trữ tại erdosproblems.com. Problem #1196 liên quan đến primitive sets: tập hợp các số nguyên mà không số nào trong tập chia hết cho số khác trong cùng tập đó.

Mỗi tập số nguyên tố đều tự động là primitive set (vì số nguyên tố không có ước số nào ngoài 1 và chính nó). Erdős định nghĩa một "điểm số" cho mỗi primitive set - gọi là Erdős sum - tính bằng:

∑ 1/(a · log a)  với mọi số a trong tập

Ông chứng minh tổng này có giá trị tối đa khoảng 1.6 (đạt được bởi tập tất cả số nguyên tố - điều Jared Lichtman chứng minh trong luận án tiến sĩ năm 2022). Conjecture #1196 phức tạp hơn: khi các số trong tập rất lớn, Erdős phỏng đoán tổng này tiến về chính xác 1. Lichtman năm 2023 chỉ đạt upper bound ~1.399 - gần nhưng chưa đủ.

Minh hoạ Markov chain và primitive sets trong lý thuyết số

80 phút, 1 prompt, GPT-5.4 Pro

Price không biết gì về lịch sử bài toán khi nhập nó vào ChatGPT. Anh mô tả cách tiếp cận của mình là "vibe-maths" - khám phá theo trực giác, không chuẩn bị literature, không có ý định rõ ràng. "Tôi không biết bài toán này là gì - tôi chỉ thỉnh thoảng làm các bài Erdős và đưa cho AI xem nó ra gì," anh nói.

Trong 80 phút, GPT-5.4 Pro tạo ra một proof artifact. Price gửi cho Kevin Barreto - sinh viên năm 2 đại học Cambridge, người cộng tác không thường xuyên của anh. Barreto nhận ra ngay đây là điều đặc biệt, liên hệ Lichtman và Terence Tao (UCLA, Fields Medal). Cả hai xem xét và xác nhận.

"Có một chuỗi bước chuẩn mà tất cả mọi người trước đây đều bắt đầu từ đó," Tao nói. "AI đã đi theo con đường hoàn toàn khác - dùng một công thức nổi tiếng trong các phần liên quan của toán học, nhưng chưa ai nghĩ đến việc áp dụng cho loại bài toán này."

Kỹ thuật 90 năm, chưa ai thử

Đây là điểm cốt lõi. Trong 60 năm, mọi nhà toán học tiếp cận Problem #1196 đều đi theo cùng một hướng: chuyển bài toán từ number theory sang probability theory. Con đường đó có vẻ tự nhiên đến mức không ai đặt câu hỏi.

GPT-5.4 Pro không có định kiến đó. Nó dùng von Mangoldt function - công cụ từ analytic number theory mã hoá định lý cơ bản của số học - kết hợp với Markov chain argument. Kỹ thuật này tồn tại 90 năm, nhưng chưa ai áp dụng cho primitive sets. Đây không phải tìm kiếm paper ẩn - kỹ thuật tồn tại nhưng chưa ai kết nối nó với bài toán này.

Tao gọi đây là "previously undescribed connection between integer anatomy and Markov process theory". Lichtman so sánh với AlphaGo's Move 37 năm 2016 - nước đi trông như sai lầm nhưng viết lại lý thuyết cờ vây.

Paper chính thức arXiv:2605.00301 (nộp 1/5/2026, 8 tác giả bao gồm Tao và Lichtman) chứng minh thêm:

  • Conjecture Erdős-Sárközy-Szemerédi về divisibility chains (#1217)
  • Proof ngắn cho Erdős Primitive Set Conjecture (#164)
  • Xác nhận 2 là "Erdős-strong" prime
  • Giải phiên bản sửa đổi của Banks-Martin conjecture

Điều cần hiểu đúng

Không phải AI tự mình làm tất cả. Raw output của ChatGPT "quite poor" theo Lichtman - cần expert sift through, hiểu ý AI muốn nói, rồi reformulate thành toán học nghiêm túc. Price cung cấp sự tò mò và prompt. AI cung cấp kết nối ý tưởng. Barreto nhận ra tầm quan trọng. Tao và Lichtman cung cấp độ chính xác toán học và xác nhận cộng đồng.

Tao cũng lưu ý: bài toán có thể "easier than expected" - human researchers đơn giản đã tạo ra collective mental block ở bước đầu tiên. AI không có định kiến đó nên tìm được con đường khác.

Đây là điều Lichtman gọi là "the first AI result at the level of Erdős's Book" - tập sách tưởng tượng Erdős nói Chúa lưu giữ những proof đẹp nhất. Nhưng Tao vẫn thận trọng: "Long-term significance remains to be seen."

Ý nghĩa thực sự

Kể từ tháng 10/2025, AI đã giúp giải khoảng 100 bài toán Erdős theo tracker của Tao. Nhưng phần lớn là sophisticated literature search - tìm papers ẩn, ghép theorems có sẵn. Lần này khác: von Mangoldt approach không nằm trong paper ẩn nào, đơn giản là chưa ai thử.

Điều thay đổi là ai có thể tham gia research. ChatGPT Pro $20/tháng, 3.000 thinking messages/tuần - đủ để thử hàng chục open problems. Không cần PhD. Không cần institutional affiliation. "Access beats credentials" không còn là khẩu hiệu - nó vừa được chứng minh trong toán học thuần tuý.

Mô hình mới đang hình thành: amateur explore với commodity AI, experts validate và refine. Gatekeeping dịch chuyển từ exploration sang verification. Rào cản hạ thấp, không biến mất - nhưng hạ thấp là đủ để thay đổi ai có thể tìm ra insight tiếp theo.

Kết

Lichtman từng có trực giác từ thời nghiên cứu sinh: các bài toán về primitive sets có liên quan đến nhau, có một cấu trúc chung. "This new method is really confirming that intuition," anh nói. Một chàng trai 23 tuổi với ChatGPT và sự tò mò đã xác nhận điều đó bằng một proof thực sự.

"We have discovered a new way to think about large numbers and their anatomy," Tao tổng kết. "It's a nice achievement. I think the jury is still out on the long-term significance." - via Scientific American | arXiv:2605.00301